0. 引言
在正式介绍微分方程之前，我想很重要的一件事情是建立起学习动机：为什么要学？一个比较现实的答案就是物理学定律/工程过程通常都是依靠微分方程进行描述的，那么对于一个理工科的学生/工作者，对微分方程有一定的了解也就成了一个必修项。一个比喻就是，就像是你不得不去阅读德语写成的材料，那么你就必须先学会德语。更具体地，解决现实问题的框架可以理解为：
当你面对一个现实问题，首先要基于一些基本假设，对问题进行抽象，形成一个用一组微分方程描述的数学模型，接着运用数学方法对其进行求解，再用得到的结果对现实问题进行解释。在这本书中，我们会主要关注于数学分析上。
下面举四个微分方程中的简单又常用的例子及其通解，可以将其通解代入原式进行验证： \[ \frac{d y}{d x}=k y, k>0 \Longrightarrow y(x)=C e^{k x} \] \[ \frac{d y}{d x}=-k y, k>0 \Longrightarrow y(x)=C e^{-k x} \] \[ \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-k^{2} y, k>0 \Longrightarrow y(x)=C_{1} \cos (k x)+C_{2} \sin (k x) \] PS: 对于一个二阶方程，通解中会有两个待定的常数（\(C_1, C_2\)）。 \[ \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=k^{2} y, k>0 \Longrightarrow y(x)=C_{1} e^{kx}+C_{2} e^{-kx} \]
接着简单介绍一下微分方程的分类方式： 1.
常微分方程（Ordinary differential eqations,
ODE, 左式）与偏微分方程（Partial
differential equations, PDE, 右式）。 \[
\frac{dy}{dt}=ky \mid \dfrac{\partial^2u}{\partial
t^2}=\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2u}{\partial
y^2}.
\] ODE指微分对象只有一个变量，而PDE指偏微分对象有多个变量。
2.
方程阶数（order）：指方程中微分的最高阶数。如下式是一个四阶偏微分方程。
\[
a^4\dfrac{\partial^4y}{\partial x^4}+\dfrac{\partial^2y}{\partial t^2}=0
\]
通常来讲，阶数越低的方程描述的行为越简单，解决起来也越容易。
3.
参考书籍：Notes on Diffy Qs: Differential Equations for Engineers - by Jiří Lebl (https://www.jirka.org/diffyqs/html/frontmatter-1.html)
